Dieses Kapitel richtet sich nicht an Mathematiker, sondern soll lediglich eine ungefähre Idee von komplexen Zahlen vermitteln.
Was ist die Quadratwurzel aus -1 (sqrt(-1))? Diese Frage führt mitten in die Theorie der komplexen Zahlen.
Die Lösungen der Gleichung x² - 4 = 0 sind 2 und -2. Generall gesagt, wird die Gleichung x² - s = 0 von sqrt(s) und -sqrt(s) gelöst, falls s eine positive Zahl ist.
Im Fall s = 0 gibt es nur eine Lösung: x = 0.

Was passiert nun, wenn s eine negative Zahl ist? Wie löst man x² + 1 = 0? In diesem Fall haben wir: x = +/-sqrt(-1). Für dieses Problem haben wir aber noch keine Lösung. Deshalb definieren wir sqrt(-1) = i und nennen i die Imaginäre Einheit. Durch diese Definition kann die Gleichung x² - s = 0 für jedes s gelöst werden. Für negative s lauten die Lösungen x = +/- sqrt(|s|)*i. Für negative s kann man also benutzen, daß die Lösungen das sqrt(|s|)-fache von i = sqrt(-1) sind, wobei sqrt(|s|) eine normale (reelle) Zahl ist.
Da man ja im allgemeinen nicht weiß, ob s positive oder negative ist, definiert man eine komplexe Zahl, als ein Zahlenpaar von normalen, reellen Zahlen (a,b). Wenn s positiv ist, lauten die Lösungen (+/-sqrt(s),0), sonst (0,+/-sqrt(|s|)). Es gibt aber auch komplexe Zahlen mit einem normalen und einem imaginären Teilt, z.B. (3,7). Diese können dann folgendermassen geschrieben werden: a + b*i, z.B. 3 + 7*i. Wenn man komlexe Zahlen als ein Zahlenpaar ansieht, handelt es sich bei dem Paar (a,b) um Koordinaten. Man kann also eine komplexe Zahl in eine Koordinatenebene einzeichnen. a ist die x-Koordinate und b die y-Koordinate.

Rechnen mit komplexen Zahlen

Die Addition zweier komplexer Zahlen ist denkbar einfach: Man addiert die normalen (reellen) Teile und die imaginären Teile:
(3,4) + (5,2) = (8,6) bzw. (3 + 4*i) + (5 + 2*i) = (3 + 5) + (4 + 2)*i = 8 + 6*i

Die Multiplikation dagegen ist etwas schwieriger:
(3,4) * (5,2) = (7,26)
Dies ist allerdings gar nicht so merkwürdig, wenn man die Multiplikation anders aufschreibt:
(Binomische Formel. Man beachte dabei: i * i = -1 (!))
(3 + 4*i) * (5 + 2*i) = 15 + 6*i + 20*i + 8*i*i = 15 - 8 + 26*i = 7 + 26*i